האורקל

בקיצור

• סריניוואסה רמנוג'אן, עילוי אוטודידקט, מילא מחברות במשפטים על מספרים. משפטים אלו, שלעתים קרובות היו אפופי תעלומה, התגלו כנכונים ובסופו של דבר אף הצמיחו שדות חדשים שלמים במתמטיקה.
• כעת, באוניברסיטת אמורי, גילו קן אוֹנוֹ ועמיתיו כמה תגליות מפתיעות בעזרת תובנות שלא זכו עד אז להכרה מתוך כתבים שלא התפרסמו של רמנוג'אן.
• התגליות האלה, לא זו בלבד שעזרו לפתור כמה תעלומות גדולות בנוגע למכונות מתמטיות הקרויות פונקציות, הן אף יכולות לקדם דרכים בטוחות יותר להצפין נתוני מחשב וגם גישות חדשות לחקר חורים שחורים.

בבוקר שבת אחד ב-1984, כשהיה קן אוֹנוֹ תלמיד תיכון, הוא פתח את תיבת הדואר של משפחתו בבולטימור ומצא מעטפה דקיקה כנייר אורז, מכוסה בולים ססגוניים. המעטפה הייתה ממוענת לאביו, מתמטיקאי יפני מאופק. אוֹנוֹ הבן הגיש את הדואר לאוֹנוֹ האב, שהרים את עיניו מן הדפדפת הצהובה שעליה היה משרבט תמיד משוואות והניח את העט הכדורי שלו. בעדינות, הוא ביתק את המעטפה החתומה ופרש את המכתב שהיה בתוכה.

"אדון נכבד," הוא פתח. "הגיע לידיעתי… שתרמת כסף להקמת פסל לזכרו של בעלי המנוח. אני שמחה על כך." על המכתב הייתה חתומה "ס. ג'נאקי אמאל," שהכיתוב בדיו אדומה בראש המכתב זיהה כאלמנתו של "(המנוח) סריניוואסה רמנוג'אן (גאון מתמטי)."

זו הייתה הפעם הראשונה שאוֹנוֹ הצעיר שמע על רמנוג'אן האגדי. רמנוג'אן, עילוי מתמטי אוטודידקט מהודו, טען לפני כמאה שנה טיעונים חידתיים ש"נראה כאילו בקושי אפשר להאמין בנכונותם," כתב פעם גודפרי הרולד ("ג' ה'") הרדי (G. H. Hardy), המתמטיקאי הבריטי הנודע שעבד לצִדו. עבודתו העניקה השראה לענפים מתמטיים חדשים בתכלית ורמזה על תיאוריות שבכמה וכמה מקרים זיכו את ממציאיהן במדליית פילדס, המקבילה המתמטית לפרס נובל.

אוֹנוֹ, שנעשה לבסוף מתמטיקאי בעצמו, וכיום הוא פרופסור לתורת המספרים באוניברסיטת אמורי, לא ראה בתקופת לימודיו שום סיבה לייחד לרמנוג'אן תשומת לב מיוחדת. ככל שהיה ידוע לו, ה"גאון המתמטי" לא הותיר אחריו שום תובנות שנוגעות למומחיות הייחודית של אוֹנוֹ בתורת המספרים, תבניות מודולריות: עצמים מופשטים דו-ממדיים שמתמטיקאים רוחשים להם כבוד רב בזכות הסימטריה הראויה לציון שלהם.

רמנוג'אן הגיח מחדש, ובגדול, לתוך חייו של אוֹנוֹ ב-1998, כשהיה בן 29. המתמטיקאי ברוס ק' בֶּרנְדְט מאוניברסיטת אילינוי שבאורבנה-שמפיין הכין אז אנתולוגיה של עבודתו של העילוי, ונתקל בכתב יד שלא זכה כמעט להתייחסות. המאמר עסק בתבניות מודולריות, ולכן שלח בֶּרנְדְט לאוֹנוֹ סריקה דיגיטלית שלו, כי חשב שאולי הוא יוכל לפענח כמה טיעונים מוזרים שהופיעו בו.

לאחר שאוֹנוֹ קרא שני שלישים מן הטקסט, הוא נעצר. באותיות מסודרות כשל תלמיד בית ספר, העלה רמנוג'אן על הכתב שש הצהרות מתמטיות נועזות שנראו משונות לגמרי בעיני אוֹנוֹ, אף שהן נגעו לתחום מומחיותו.

אוֹנוֹ היה הלום רעם. הוא היה משוכנע שההצהרות שגויות. "התבוננתי בהן ואמרתי, 'אין מצב. זה קשקוש.' "

הנטייה הראשונית שלו הייתה אפוא לנסות להוכיח שרמנוג'אן טעה.

תכנית החלוקה

כיצד הגיע רמנוג'אן למרבית המתמטיקה שכתב? שאלה זו אפופה תעלומה. הוא למד בעצמו מתוך ספר לימוד אנגלי מיושן, ובאמצע שנות ה-20 לחייו, כשעבד כפקיד ממשלתי, התחיל לשלוח את רעיונותיו במכתבים למתמטיקאים באנגליה. הוא זכה למענה אחד ויחיד. מענה זה הגיע מהרדי, שכבר החל לצבור מוניטין כפרופסור, והזמין את רמנוג'אן לבוא לעבוד עִמו בקיימברידג'. לאחר שלוש שנים בלבד בניכר, חלה רמנוג'אן בתקופת קיצובי המזון שהונהגו במלחמת העולם הראשונה. כחוש וקודח, הוא חזר להודו והלך לעולמו ב-1920 כשהוא בן 32.

מלבד 37 מאמרים שיצאו לאור, הותיר אחריו רמנוג'אן ספרייה קטנה של מכתבים, כתבי יד לא גמורים ושלוש מחברות בכריכת עור. הרדי ואחרים בחנו אותם ומצאו שהוא גילה מחדש משפטים קלאסיים, חוקים המתארים כיצד מספרים מתנהגים, שהועלו לראשונה על הכתב בידי מתמטיקאים שהיו הבכירים ביותר בתחומם. לא זו אף זו, רמנוג'אן הבחין בדפוסים נוספים, שאיש לא ראה לפניו. מתמטיקאים מיומנים אמורים לדעת לבסס כל ממצא בעזרת הוכחה, סדרה של טיעונים לוגיים שישכנעו את עמיתיהם באמיתותו. אבל רמנוג'אן לא הטריח את עצמו. הוא מילא דפים על דפים ברשימות ארוכות של משפטים וחישובים שביצע בראשו או בגיר על גבי לוח, ורק לעתים רחוקות עצר כדי להסביר כיצד הגיע אליהם. שלוש המחברות לבדן כוללות יותר מ-3,000 מסקנות בנוגע לטיבם של מספרים, שמתמטיקאים עמלו להוכיח או להפריך מאז מותו של רמנוג'אן.

בֶּרנְדְט החל לחפור בארכיון רמנוג'אן בשנות ה-70 של המאה ה-20. הנושא המשיך להעסיק אותו גם יותר מעשרים שנה לאחר מכן, כשנתקל בכתב היד שנשא את שש ההצהרות שלכדו את תשומת לִבּו, ההצהרות שאוֹנוֹ היה נחוש להוכיח שהן שגויות. הצהרות אלו מתחו קווים בין תבניות מודולריות לבין מה שמכונה מספרי חלוקה: סדרה של מספרים שלמים המייצגים את כל הדרכים שבהן אפשר לחבר מספרים שלמים קטנים יותר כדי לקבל את המספר שאִתו התחלתם. מספרי חלוקה מגיעים מתוך פונקציית חלוקה, שכמו כל פונקציה מתארת קשר בין שני דברים: היא לוקחת קלט מסוים, x, ושולפת את הפלט המתאים, f(x). פונקציית החלוקה, p(n), סופרת את הצירופים של מספרים שלמים חיוביים שמסתכמים במספר שלם נתון, n. לדוגמה, הפונקציה p(4) נותנת את המספר 5: 1+1+1+1, 1+1+2, 2+2, 1+3, ו-4.

פונקציית החלוקה והמספרים שהיא מייצרת עשויים להיראות משהו פשוט וישיר, אבל תיאורטיקנים נאבקים כבר מאות שנים למצוא דפוסים בקרב המספרים האלה, כדי שיוכלו לחזות אותם, לחשב אותם או לקשר ביניהן לבין פונקציות ומשפטים אחרים. רמנוג'אן ביצע את אחת מפריצות הדרך האמיתיות הראשונות. הוא והרדי בנו יחדיו שיטה למציאה מקורבת מהירה של מספרי חלוקה. כדי לבדוק את דיוק הקירובים שלהם, הם שכנעו תותחן בריטי בדימוס שהיה גם אשף חישובים, פרסי אלכסנדר מק'מהון (הידוע גם בשם רב-סרן מק'מהון), לחשב את 200 מספרי החלוקה הראשונים באופן ידני. התברר שהקירובים של רמנוג'אן והרדי היו מרשימים בדיוקם. וחשוב מכך, עיון ברשימה של מק'מהון הוביל את רמנוג'אן לאחת האבחנות המפורסמות ביותר שלו. מק'מהון סידר את ערכיp(n), החל מ-n=0, בחמישה טורים. רמנוג'אן הבחין שכל ערך בטור האחרון, כלומר כל מספר חלוקה החל מ-p(4), מתחלק ב-5, והוא הוכיח שהדפוס הזה ממשיך לנצח. הייתה זו תגלית מטלטלת. זִכרו, חלוקות עוסקות בחיבור מספרים. איש לא העלה בדעתו שיש להן תכונות הכרוכות בחילוק.

רמנוג'אן ראה שקיימים עוד כמה דפוסים דומים לזה. הוא הוכיח, לדוגמה, שכל מספר חלוקה שביעי, החל מ-p(5), מתחלק ב-7. בדומה לכך, כל מספר חלוקה אחד-עשר החל מ-p(6) מתחלק ב-11. ולמרבה המסתורין, "קוֹנְגְרוּאֶנציות רמנוג'אן" האלה נעצרות שם. "דומה שאין עוד שום תכונות פשוטות באותה מידה לאף מודולוס אחר הכולל מספרים ראשוניים, מלבד אלו," כתב רמנוג'אן במאמר מ-1919, בהתייחסו למספרים הראשוניים 5, 7 ו-11.

לאחר מותו של רמנוג'אן, תהו מתמטיקאים האם ייתכן שיש לחלוקות כמה תכונות לא כל כך פשוטות, וניסו למצוא אותן. ואולם, עד סוף שנות ה-90 הם לא הצליחו לדוג יותר מקומץ קוֹנְגְרוּאֶנציות נוספות הכוללות מספרים ראשוניים אקראיים לכאורה או חזקות שלהם, כמו למשל 29, 173 ו-236. הם התחילו לחשוד שאולי דפוסים כאלה הם בלתי ניתנים לחיזוי ושהם נדירים מאוד.

אבל לאחר שאוֹנוֹ התמודד עם אותן שש הצהרות נשכחות מכתב היד של רמנוג'אן, התחוור לו לתדהמתו שייתכן שהחשדות האלה שגויים לגמרי. מתמטיקאים סברו כבר הרבה זמן שמספרי חלוקה קשורים רק לתת-קבוצה קטנה של תבניות מודולריות. להפתעתו של אוֹנוֹ, שש ההצהרות של רמנוג'אן קישרו בין שני התחומים בדרך מעמיקה שאיש לא צפה לפני כן.

רמנוג'אן לא תיעד הוכחות, ולכן אוֹנוֹ לא היה מסוגל לזהות באופן ישיר שגיאות במהלך החשיבה של העילוי. ולכן הוא החליט להכניס כמה מספרים לנוסחאות שרמנוג'אן כלל בהצהרותיו, בתקווה שהדוגמאות האלה יחשפו פגמים כלשהם. אבל הנוסחאות עבדו בכל פעם. "לא ייאמן!" אמר אוֹנוֹ לעצמו. הוא הבין שככל הנראה רמנוג'אן צדק "מכיוון שלא ייתכן שמישהו יהיה יצירתי דיו כדי להמציא משהו כזה ושהוא יהיה נכון 100 פעמים, אלא אם כן הוא יודע מדוע הנוסחה הזו נכונה, תמיד." ואז הוא עצם את עיניו וחשב בכל כוחו על מה שאיש חוץ מרמנוג'אן לא הצליח להבין.

אוֹנוֹ ידע שבתבניות מודולריות "מפוזרות המון קוֹנְגְרוּאֶנציות", אותם דפוסי חלוקה שרמנוג'אן מצא חלק מהם בין מספרי החלוקה. כשאוֹנוֹ התעמק בשש ההצהרות, עלה בדעתו שאם הוא יחשוב על פונקציית החלוקה כעל תבנית מודולרית במסווה, הוא יוכל להראות שהן נכונות.

ומחשבה נוספת הגיעה מיד לאחר מכן: הוא תפס, כשהוא צוחק בקול רם, שעם כמה התאמות, התיאוריות שהוא עצמו פיתח על תבניות מודולריות יוכלו להיות כלים רבי עוצמה שלא רק יאששו את גאונותו של רמנוג'אן, אלא גם יעזרו להסיר את הלוט מעל סודות עמוקים בנוגע לפונקציית החלוקה. "זה היה דומה להשגת טלסקופ חדש ומגניב," נזכר אוֹנוֹ. "ברגע שהוא בידיך, אם תתחיל לסרוק את החלל – כשבחלל הזה הכוכבים הם מספרי החלוקה – תראה שיש שם המון המון גלקסיות."

כך, הצליח אוֹנוֹ להוכיח שקוֹנְגְרוּאֶנציות חלוקה אינן נדירות כלל וכלל. מתמטיקאים הניחו שיש רק מעט קוֹנְגְרוּאֶנציות אחרי 5, 7 ו-11. אבל למעשה, כפי שגילה אוֹנוֹ, יש אינסוף כאלה.

עמיתיו של אוֹנוֹ היללו את התגלית שלו ואמרו שהיא פורצת דרך. אבל הוא לא היה מרוצה. אף שהיה יכול להוכיח שקוֹנְגְרוּאֶנציות חלוקה מצויות בכל פינה, הוא לא היה יכול לומר היכן אפשר למצוא אותן. אם תסדרו את מספרי החלוקה לפי הסדר, ייתכן שהייתם רוצים לדעת מתי תצוץ קונגרואנציה. אם ראיתם קונגרואנציה אחת, האם תוכלו לחזות מתי תראו את הבאה? לאוֹנוֹ לא היה מושג.

כשאוֹנוֹ נתקל בבעיה מאתגרת, הוא מסרב לטחון אותה שוב ושוב בראשו עד שהיא נעשית נוקשה כמו מסטיק ישן. הוא מעדיף לקטלג אותה בפינה כלשהי בראשו, לצד בעיות בלתי פתורות אחרות, עד שהיא מגיחה מחדש אל פני השטח. הבעיה, כיצד לחזות קוֹנְגְרוּאֶנציות חלוקה, נחה רדומה במשך חמש שנים, עד שעמיתו לפוסט-דוקטורט, זכארי א' קנט, הגיע לאמורי באביב 2010. היא פשוט צצה יום אחד במהלך שיחה, ועד מהרה הם דיברו עליה כל הזמן, במשרדים שלהם, תוך כדי שתיית קפה ובטיול רגלי ארוך ביערות שמצפון לאטלנטה.

מעט מעט, הם בנו בעיני רוחם מבנה-על פתלתל וסבוך שמספרי החלוקה יכולים להתארגן בתוכו בצורה מסודרת. הם גילו את הארגון הזה באמצעות כלי תיאורטי, שמתמטיקאים מכנים אופרטור. האופרטור המסוים שהם בחרו לוקח מספר ראשוני כלשהו (למשל, 13), בוחר חזקות של המספר (132, 133 וכן הלאה), ומפרק אותם למספרי החלוקה. למרבה התדהמה, המספרים שהוא פולט מצייתים למבנה פְרַקְטַלי: הם חוזרים בדפוסים כמעט זהים בקני מידה שונים, כמו ענפים של פתית שלג. התוצאה הזאת מראה שמספרי חלוקה אינם סתם סדרה אקראית של מספרים עם סימטריות מקריות המפוזרות בתוכם בלי שום סדר. תחת זאת, יש למספרים האלה "מבנה פנימי יפהפה," אומר אוֹנוֹ, שבזכותו אפשר לחזות אותם והרבה יותר מרתק לחקור אותם.

אוֹנוֹ, קנט ועמיתתם, אמנדה פולסום מאוניברסיטת ייל, היו זקוקים לכמה חודשים כדי לשייף את התיאוריה החדשה שלהם. אבל לבסוף הם הצליחו להוכיח שקוֹנְגְרוּאֶנציות חלוקה מתנהגות בצורה ניתנת לחישוב. הן קיימות בעבור כל מספר ראשוני ובעבור כל חזקה של מספר ראשוני. אבל אחרי המספר 11 הדפוסים נעשים הרבה יותר מסובכים, וייתכן שזו הסיבה שרמנוג'אן מעולם לא הצליח לפתח אותם.

אוֹנוֹ ועמיתיו הציגו את ממצאיהם בסימפוזיון שאורגן במיוחד לשם כך באמורי ב-2011. אחרי הסימפוזיון, תיבת הדואר הנכנס של אוֹנוֹ הוצפה באיחולי ברכה. "זוהי תגלית דרמתית ומפתיעה," אומר ג'ורג' א' אנדרוז, מומחה לחלוקות מאוניברסיטת המדינה של פנסיבלניה. "אני לא חושב שאפילו רמנוג'אן היה יכול לחלום עליה."

תשובות יפהפיות

חקר תובנותיו של רמנוג'אן הוליך את אוֹנוֹ לתגליות נוספות שעשויות יום אחד להתברר כשימושיות בתחומים שמחוץ למתמטיקה. באמצעות שילוב של ראיית הנולד של רמנוג'אן עם המתמטיקה המודרנית, בנו אוֹנוֹ ועמיתיו כלים חישוביים רבי עוצמה. מעבר לקידום הבנתנו במתמטיקה טהורה, הכלים האלה יכולים להוביל לשיטות טובות יותר להצפנת נתוני מחשב ולחקר חורים שחורים.

אוֹנוֹ פיתח יחד עם יאן ברוינייר, מן האוניברסיטה הטכנית של דרמשטדט בגרמניה, נוסחה לחישוב מספרי חלוקה גדולים במהירות ובמדויק, הגביע הקדוש שרמנוג'אן לא הצליח להניח עליו את ידו. אוֹנוֹ קורא למכונת החישוב הזאת "האורקל." לדבריו, האורקל לא רק מסוגל לטחון חלוקות, אלא אפשר להשתמש בו גם לצורך מחקר של סוג מסוים של עקומות אליפטיות, עצמים גאומטריים הנראים קצת כמו פני השטח של כעך.

קריפטוגרפים (מומחי הצפנה) משתמשים בעקומות אליפטיות כדי ליצור אלגוריתמים להצפנת נתוני מחשב. הצלחתן של השיטות האלה נעוצה ביכולתן ליצור חידות מתמטיות שאי אפשר לפתור בזמן סביר. למשל, אלגוריתם נפוץ הקרוי RSA [שאחד מממציאיו הוא פרופסור עדי שמיר ממכון ויצמן למדע – העורכים] מתבסס על הקושי לפרק מכפלה של שני מספרים ראשוניים גדולים מאוד בחזרה לגורמיה. שיטות חדשות יותר משתמשות בנקודות על עקומה אליפטית, שאת הקשרים ביניהן קשה עוד יותר לזהות. אם האורקל, או תגליות דומות, יוכלו לזרות אור על קשרים אחרים, עוד יותר חמקמקים, ייתכן שקריפטוגרפים יוכלו להשתמש בידע הזה כדי לבנות מערכות הצפנה חזקות יותר.

עבודתו של אוֹנוֹ הסירה את הלוט גם מעל אחת התעלומות הגדולות ביותר במורשתו המתמטית של רמנוג'אן. שלושה חודשים לפני מותו, כשהוא מתייסר בכאבים וקודח מחום, הוא שרבט מכתב אחרון להרדי באנגליה. "אני מאוד מצטער שלא כתבתי לך אפילו מכתב אחד עד עכשיו," הוא כתב. "גיליתי לאחרונה כמה פונקציות מאוד מעניינות, שאני מכנה פונקציות 'דמויות' תטא … הן משתלבות במתמטיקה ביופי שאינו נופל מיופיין של פונקציות תטא רגילות."

פונקציות תטא הן, בעיקרו של דבר, תבניות מודולריות. רמנוג'אן שיער שאפשר להתוות פונקציות חדשות, דמויות תטא, שאינן דומות כלל לתבניות מודולריות אבל מתנהגות באופן דומה בעבור קלטים מסוימים הקרויים נקודות סינגולריות. סמוך לנקודות האלה, הפלט של הפונקציה תופח עד אינסוף. קחו לדוגמה את הפונקציה f(x)=1/x, שיש לה סינגולריות בנקודה x=0. ככל שהקלט x מתקרב יותר ויותר ל-0, כן הפלט, f(x), גדל עד אינסוף. לתבניות מודולריות יש מספר אינסופי של נקודות סינגלוריות כאלה. רמנוג'אן הרגיש באופן אינטואיטיבי שבעבור כל אחת ואחת מן פונקציות האלה, יש פונקציה דמוית תטא שלא רק חולקת עימה את אותן נקודות סינגולריות אלא גם מפיקה בהן פלט ששואף לאינסוף כמעט באותו קצב.

רק ב-2002 הצליח מתמטיקאי הולנדי ששמו סנדר זוֵוגֶרס להגדיר באופן פורמלי את הפונקציות דמויות התטא, בעזרת רעיונות שעוצבו עשרות שנים אחרי מותו של רמנוג'אן. אבל מתמטיקאים עדיין לא הצליחו להסביר את הצהרתו של רמנוג'אן, שהפונקציות האלה מחקות תבניות מודולריות בנקודות הסינגולריות שלהן.

המנגנון שמאחורי האורקל של אוֹנוֹ וברוינייר פתר סוף-סוף גם את החידה הזאת. יחד עם פולסום ורוברט רודז מאוניברסיטת סטנפורד, השתמש אוֹנוֹ באורקל כדי לגזור נוסחאות לחישוב הפלטים של פונקציות דמויות תטא כשהן מתקרבות לנקודות סינגולריות. ואכן, הם מצאו שההשערה של רמנוג'אן נכונה: הפלטים האלה דומים להפליא לפלטים הסמוכים לנקודות הסינגלוריות המקבילות בתבניות מודולריות. במקרה אחד, לדוגמה, מצאו המתמטיקאים שההבדל ביניהן מתקרב מאוד ל-4, סטייה מפתיעה וכמעט זניחה ביקום הזה של מספרים אינסופיים.

פיזיקאים התחילו לאחרונה להשתמש בפונקציות דמויות תטא כדי לחקור תכונה של חורים שחורים הקרויה אנטרופיה, גודל שמודד עד כמה מערכת קרובה להגיע למצב של איזון אנרגטי מושלם. כמה מדענים סבורים שנוסחאות קרובות לנוסחאותיו של אוֹנוֹ עשויות לאפשר להם לבדוק תופעות כאלה בדקדוק רב יותר.

אוֹנוֹ מתרה מפני המגמה המדגישה יתר על המידה את היישומים האפשריים של עבודתו. כתיאורטיקנים רבים אחרים, הוא סבור שהמטרות המעשיות אינן הדבר שהופך תגליות כאלו לגדולות. "אל תצפו שהמשפטים של קן יעניקו לנו כמות אינסופית של אנרגיה ירוקה או ימצאו תרופה לסרטן או משהו כזה," אומר אנדרוז. לעתים קרובות, תגליות מתמטיות תופסות מקום חשוב במדע ובטכנולוגיה רק אחרי שהן פשוט מצויות בסביבה במשך כמה עשרות שנים. קשה, ואולי אף בלתי אפשרי, לחזות מה יהיה המקום הזה.

אוֹנוֹ יכול עדיין להיזכר בצמרמורת המענגת שהרגיש כשראה לראשונה את קוֹנְגְרוּאֶנציות רמנוג'אן עולות על הכתב, כשידו היציבה של אביו מתוות את הסמלים הזרים על הדפדפת הצהובה שלו. "למה רק שלושה?" הוא זוכר ששאל. "איש אינו יודע," ענה לו אביו.

כשאוֹנוֹ מספר את סיפורו, הוא יושב בחדר האוכל של משפחתו בג'ורג'יה. על הקיר מאחוריו תלויה תמונה ממוסגרת של פרוטומת הארד של רמנוג'אן, שהוזמנה בשביל אלמנתו בעזרת תרומות בסך 25 דולר מאביו של אוֹנוֹ וממאות מתמטיקאים אחרים ומדענים ברחבי העולם. "מעולם, אפילו לא בחלומותיי הפרועים ביותר, לא העליתי בדעתי שיבוא יום ואני אוכל לומר 'יודע מה, אבא? הקוֹנְגְרוּאֶנציות האלה אינן הקוֹנְגְרוּאֶנציות היחידות, ממש רחוק מזה.'"